TaeKyoung's Study Blog

[확률론] Fields & σ-Fields

한 줄 요약사건으로 인정할 집합들의 모음 $\mathcal{F}$에는 최소한의 규칙이 필요하다. "여집합을 취해도, 합집합을 취해도 여전히 사건이어야 한다"는 규칙이고, 합집합을 무한히(가산 번) 취해도 괜찮도록 강화한 것이 σ-field다.지난 편에서 남긴 질문1편에서는 "사건 = 표본공간 $\Omega$의 부분집합"이라고 했다. 그렇다면 $\Omega$의 모든 부분집합을 사건으로 인정해도 될까?답은 $\Omega$가 얼마나 큰지에 따라 다르다.$\Omega$의 크기모든 부분집합을 사건으로 써도 될까?유한하거나 가산(셀 수 있는 무한)된다. 모든 부분집합의 모음 $2^\Omega$를 쓰면 아무 문제가 없다비가산(셀 수 없는 무한, 예: $\mathbb{R}$, $[0,1]$)안 된다. 길이나 확률을 일..

한 줄 요약확률을 계산하기 전에, 먼저 "무엇이 일어날 수 있는가"를 집합으로 적어두는 것부터 시작한다. 그 전체 집합이 표본공간, 그 안의 부분집합이 사건이다.확률론은 생각보다 늦게 태어났다주사위나 동전 같은 운에 맡기는 게임은 수천 년 전부터 있었다. 그런데 이걸 수학으로 다루기 시작한 건 의외로 아주 늦은 16~17세기의 일이다. 대수학, 기하학, 삼각법이 이미 한참 발전한 뒤였다.우연한 일은 오랫동안 신의 뜻의 영역으로 여겨져서, 사람이 계산할 대상이 아니라고 생각했다.우연은 다른 수학 분야를 이끌었던 연역적 추론(공리에서 출발해 논리적으로 결론을 끌어내는 방식)과 잘 맞지 않아 보였다.카르다노(Cardano)가 1564년경 도박에 관한 책을 썼지만(출판은 1663년), 내용이 임기응변식이고 틀린..

최적화이론을 시작하며이번 글에서 다룰 세 가지 — 행렬, 함수의 미분가능성, 이차형식 — 은 따로 노는 주제처럼 보이지만 사실 하나의 목적지를 향해 간다. 바로 함수의 2차 미분(Hessian)이 정부호(definite)인지 판정해서, 그 함수가 국소적으로 볼록인지 오목인지 알아내는 것이다. 이건 앞으로 최적화 문제의 2차 조건(second-order condition)을 이해하는 데 필수적인 도구다. 순서대로 따라가 보자.1. 행렬의 주요 성질$n \times n$ 정방행렬 $A = (a_{ij})$ 중에서 자주 쓰이는 것들부터 정리하고 간다.기본 연산$n \times m$ 행렬 $A = (a_{ij})$, $B = (b_{ij})$가 있을 때 가장 기본이 되는 세 연산부터 짚고 간다.합(sum): $..

1. 적률이란?적률은 통계학에서 확률분포함수의 모양을 설명할 수 있는 하나의 척도이다. 1차 적률은 분포의 중심이 어디에 있는지(평균), 2차 적률은 그 중심으로부터 얼마나 퍼져 있는지(분산), 3차 적률은 좌우 비대칭의 정도(왜도), 4차 적률은 꼬리가 얼마나 두꺼운지(첨도)를 알려준다. 이처럼 적률들을 차례로 구해나가면 분포의 형태를 점점 더 정교하게 그려낼 수 있는데, 문제는 이 적률들을 하나씩 개별적으로 계산하는 과정이 분포에 따라 상당히 번거로울 수 있다는 점이다. 적률생성함수는 바로 이 문제를 해결한다. 모든 차수의 적률을 하나의 함수 안에 압축해 담아두고, 미분이라는 단순한 연산만으로 원하는 차수의 적률을 즉시 꺼내 쓸 수 있게 해주는 도구다. 2. 적률생성함수의 정의확률변수 $X$의 적률생..

1. 차원 축소란?머신러닝에서 다루는 데이터는 대부분 여러 개의 변수, 즉 여러 개의 차원으로 이루어져 있다. 예를 들어 고객 데이터라면 나이, 소득, 구매 횟수, 방문 빈도, 클릭 로그 등 수십 개의 칼럼이 있을 수 있고, 이미지 데이터라면 픽셀 하나하나가 각각의 차원이 되어 수만 차원짜리 벡터로 표현되기도 한다. 차원 축소(Dimensionality Reduction)는 이렇게 많은 변수로 표현된 데이터를 정보 손실을 최소화하면서 더 적은 수의 변수로 압축하는 과정을 말한다. 여기서 중요한 건 단순히 변수 개수를 줄이는 게 아니라, 데이터가 가진 핵심적인 구조와 패턴은 최대한 보존하면서 줄인다는 점이다. 예를 들어 100개의 변수로 표현된 데이터가 있다고 해도, 그 안에 있는 실질적인 정보는 몇 개의..

포트폴리오 최적화 문제는 기대수익률과 공분산 파라미터의 정확한 추정을 전제로 한다. 그러나 현실에서는 기대수익률과 공분산에 대한 불확실성 요소가 너무 많다. 따라서 한 번의 추정으로는 오차가 발생하기 쉽고, 이는 최적의 의사결정에서 자칫하면 크게 벗어나는 오류가 생길 수 있다. 포트폴리오 최적화 문제의 Analytical Solution은 다음과 같이 나타내진다. $$ w = \Sigma^{-1} \mu$$이는 $\mu$의 작은 오차나 $\Sigma$의 편향에 의해 크게 증폭되는 구조다. Shrinkage Parameter보편적인 해결 방법 중 하나가 바로 shrinkage parameter를 활용해 입력을 안정화하는 것이다. (1) 기대수익률 안정화\[\hat{\mu} = (1 - \delta)\,\m..

이번 포스팅에서는 앞서 정의한 리스크 개념을 실제 포트폴리오 구성 과정에 적용하며, 이론적 최적화가 현실에서 어떻게 수정되고 확장되는지를 다룬다. 특히 투자 비중 제약, 벤치마크 추종, 거래 비용 등 실무에서 필수적으로 고려해야 하는 요소들이 최적화 문제에 어떻게 반영되는지를 중심으로 전개된다. 이는 단순한 수익–리스크 균형을 넘어, 실제 운용 환경에서 실행 가능한 포트폴리오를 구축하기 위한 구조를 이해하는 과정이다. 나아가 추정 오류와 불확실성을 고려한 보다 견고한 포트폴리오 설계로까지 확장되며, 이 장은 이론과 실무를 연결하는 핵심적인 역할을 한다. 보편적인 Portfolio Constraints 실제 포트폴리오 최적화 문제는 단순히 \[\max_{w} \; \mu^\top w - \lambda \c..

오늘 포스팅은 고전적인 분산 기반 리스크 측정의 한계를 넘어서, 보다 일반적인 mean–risk framework로 확장되는 내용에 대해 다루려 한다. 즉, 단순히 분산(variance)으로 위험을 정의하는 전통적 접근에서 벗어나, 실제 금융 데이터에서 나타나는 비대칭성(skewness), fat-tail 등의 특성을 반영할 수 있는 다양한 리스크 측정 방법을 체계적으로 정리하고, 이를 포트폴리오 최적화 문제와 결합하는 방법에 대해 설명한다. 특히 Value-at-Risk (VaR)와 Conditional Value-at-Risk (CVaR)를 중심으로, 리스크 측정의 이론적 성질과 실무적 활용을 동시에 다루며, 시뮬레이션과 최적화 기법이 어떻게 이러한 리스크 기반 의사결정을 가능하게 만드는지를 설명한다..

1. 최적화 문제를 푼다는 것 우리가 어떤 의사결정을 “최적화 문제”로 푼다는 것은, 주어진 목적함수와 제약조건 하에서 최적의 해를 찾는다는 의미다. 일반적인 최적화 문제는 다음과 같은 형태를 가진다decision variable: $w$objective function: $f(w, c)$constraints: $g(w, c), h(w, c)$만약 이 상황에서 파라미터 c를 정확히 알고 있거나 추정이 가능하다면, 해당 최적화 문제를 푸는 것은 어렵지 않다. 그러나 대부분의 현실 문제는 파라미터 c를 정확히 알 수 없는 경우가 많다. 그러한 문제들 중에는 포트폴리오 최적화 문제도 포함된다. [포트폴리오 최적화 목적함수]\[\max_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^{\top}\bold..

Background of Portfolio Theory현대 포트폴리오 이론의 출발점은 “분산투자를 통해 위험을 줄일 수 있는가?”라는 질문에서 시작된다. 본 글에서는 평균-분산(mean–variance) 프레임워크를 기반으로, 기대수익과 위험 사이의 관계를 수학적으로 구조화하고 효율적 프론티어(efficient frontier)의 개념을 다루고자 한다. 이를 통해 투자 의사결정이 단순한 직관이 아니라, 최적화 문제로 해석될 수 있음을 확인할 수 있다.Asset Diversification분산투자의 효과를 이해하기 위해, 먼저 두 자산으로 구성된 포트폴리오를 생각해보자. 자산 1과 자산 2의 비중을 각각 $w_1, w_2$라고 하면, 포트폴리오의 수익률은 다음과 같이 표현된다$$\widetilde{r}_p..