[경영과학] OR 모형 접근 방법의 개관

경영과학이란?

산업공학을 전공하다 보면 경영과학이라는 과목을 반드시 배운다. 이 경영과학이라는 과목은 산업공학과 내의 과목 중에서도 꽃이라고 불릴 정도로 중요한 과목이라고 볼 수 있다.

 

경영과학은 경영 문제를 과학적으로 풀어내는 학문으로, 수리적 모델을 기반으로 어떤 상황에서의 최적해를 도출해내는 기법이다. 이러한 기법은 자원 배분 문제, 금융 투자 문제, 공급망 관리 문제 등 여러 사회적인 문제들에 적용시킬 수 있다.

 

경영과학에서는 이러한 상황적 문제에 대한 답을 찾기 위해 최적화(Optimization)이라는 수학적 기법을 사용한다. 최적화라는 방식이 낯설게 느껴질 수도 있지만 사실 우리는 이미 대학을 오기 전에 최적화의 쉬운 형태를 이미 학습해본 경험이 있다. 예를 들어, 다음과 같은 식이 있다고 해 보자.

 

$$ y = x^{2} + 2x $$

 

이 식의 최적해를 찾기 위해 우리는 $y$를 $x$에 대해 미분한다.

 

$$ \frac{dy}{dx} = 2x + 2 $$

 

여기서 $\frac{dy}{dx} = 0$이 되는 $x$가 바로 $y$의 최적해가 된다. 이런 식으로 미분을 통해 최적해를 찾는 것이 경영과학에서 최적화 기법의 기본이 되는 툴이라고 할 수 있다.

 

경영과학 모형

간단한 경영과학 문제 예시로 다음과 같은 문제를 생각해보자

40cm짜리 실이 주어져 있고, 이 실로 직사각형을 만들려고 한다. 이 때, 만들 수 있는 직사각형의 넓이의 최댓값은 어떻게 되겠는가?   

 

 

위 문제에 대한 모형을 구성해보자. 모형을 구성하기 위해서는 우선, 결정변수와 목적함수, 제약조건 등을 설정해주어야 한다. 아래와 같이 설정할 수 있다.

 

• 결정변수: 직사각형의 가로와 세로 길이($w$,$h$)
• 목적함수: 직사각형의 넓이 $S$의 최대화
• 제약조건: 실의 길이가 40cm이다.

위 조건들을 이용해 모형을 수식화 하면,

 

$$ max \;\;\ S = wh $$

$$ s.t.1 \;\;\;\; 2(w+h) = 40 $$

$$ s.t.2 \;\;\;\;\; w\geq 0, h\geq 0 $$

 

가 되고, 다음과 같이 풀이할 수 있다.

 

$$ w + h = 20 $$

$$ S = wh = w(20 - w) $$

$$ \frac{dS}{dw} = 20 - 2w = 0 $$

$$ \therefore w = 10 $$

$$ \therefore S = 100 $$

 

따라서 만들 수 있는 가장 넓이가 큰 직사각형의 넓이는 $100cm^2$임을 알 수 있다.

 

선형계획 모형

다음은 경영과학의 중요한 모형 중 하나인 선형계획 모형을 한 번 살펴 보자. 

철수와 아빠에게 4시간의 여유가 주어져 있다. 철수와 아빠는 4시간 동안 게임시간과 독서시간을 적절하게 배분하려 한다. 이를 위해 철수와 아빠는 다음과 같은 약속을 하였다.

 

• 게임시간 $\leq$ 독서시간의 두 배
• 피로도 $\leq$ 12
• 게임 1시간 피로도 1, 독서 1시간 피로도 4

이 때, 철수가 할 수 있는 최대 게임 시간은?

 

경영과학 모형을 세운다면 다음과 같이 세울 수 있을 것이다.

• 결정변수: 게임시간 $x_{1}$, 독서시간 $x_{2}$
• 목적함수: 게임시간 $x_{1}$ 최대화
• 제약조건: 여유시간 4시간, 피로도 12이하, 게임시간은 독서시간의 두 배를 넘을 수 없다.

이를 수식화 하면,

$$ max \;\;\;\; x_1 $$

$$ s.t.1. \;\;\;x_1 + x_2 \leq 4 $$

$$ s.t.2. \;\;\;x_1 - 2x_2 \leq 0 $$

$$ s.t.3. \;\;\;x_1 + 4x_2 \leq 12$$

$$ s.t.4. \;\;\;x_1 , x_2 \geq 0 $$

 

이와 같이 목적함수와 제약조건이 결정변수들의 1차(선형) 결합으로 이루어진 모형을 선형계획 모형이라고 한다.

 

이차원 좌표평면에 그래프로 나타내면 다음과 같고, 철수가 확보할 수 있는 최대 게임 시간은 $x_1$이 최대가 되는 녹색 선과 빨간 선의 교점으로 정할 수 있다.

 

위와 같은 선형계획 모형은 앞으로 더 자세히 다루도록 하겠다.

 

여러가지 경영과학 모형

• 선형계획 모형
• 비선형계획 모형
• 네트워크 모형
• 정수계획 모형
• 동적계획 모형
• 대기행렬 모형
• 마르코프 모형