TaeKyoung's Study Blog

2계 비제차 선형 상미분방정식열린 구간 $I$에서 2계 비제차 선형 상미분방정식$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$의 해는 다음과 같이 나타낸다$$y = y_h(x) + y_p(x)$$ 1) 보조해 (Complementary Solution) : 구간 I에서 제차 선형상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$의 일반해$$y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$ 제차와 비제차 선형미분방정식의 관계(1) 어떤 열린구간 I에서 비제차 선형상미분방정식의 해 $y$와 제차 선형미분방정식의 해 $y_h$는 비제차 선형미분방정식의 해이다.$$y + y_h = y^*$$ (2) 구간 I에서 식 (1)의 두 개의 해 $y_{p_1}$, $y_{p_2}$의 차는 구간 ..

2계 제차 선형 상미분방정식$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$$r(x) = 0$ 이면 제차 (homogeneous), $r(x) \neq 0$ 이면 비제차 (non-homogeneous)계수 : $p(x)$, $q(x)$해 : $y = h(x)$ : $h(x)$는 열린 구간 I에서 정의되고 두 번 미분 가능중첩의 원리제차 선형 상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$의 일반해는 열린구간 I에서의 두 개의 해 $y_1$, $y_2$의 1차결합으로 표현된다$$y = c_1y_1 + c_2y_2$$ 초기값 문제다음 초기값 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \quad y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_..

미분방정식의 계미분방정식에서 '계'는 방정식에서 가장 높은 도함수의 차수를 의미한다. 즉 '1계 미분방정식'이라 함은 어떤 함수 $y = f(x)$ 에 대해 $y'$의 형태가 가장 높은 도함수의 차수인 미분방정식을 의미한다.$$ \text{Ex.} \quad y' + 2y = 0$$ 1계 미분방정식의 해미분방정식의 해는 $y' = F(x,y)$나 $F(x, y, y') = 0$의 형태로 표현된 방정식을 만족하는 $y = f(x)$ 혹은 $f(x,y) = c$를 구하는 방식이다. 이러한 해들은 크게 세 종류로 구분될 수 있다. 1) 일반해 : 임의의 적분상수 $C$를 포함하는 해        $\text{Ex}. \quad y = cx, y = tan(x + c)$2) 특수해 : 적분상수가 특정 값으로 결..