[미분방정식] 1계 상미분방정식

미분방정식의 계

미분방정식에서 '계'는 방정식에서 가장 높은 도함수의 차수를 의미한다. 즉 '1계 미분방정식'이라 함은 어떤 함수 $y = f(x)$ 에 대해 $y'$의 형태가 가장 높은 도함수의 차수인 미분방정식을 의미한다.

$$\text{Ex.} \quad y' + 2y = 0$$

 

1계 미분방정식의 해

미분방정식의 해는 $y' = F(x,y)$나 $F(x, y, y') = 0$의 형태로 표현된 방정식을 만족하는 $y = f(x)$ 혹은 $f(x,y) = c$를 구하는 방식이다. 이러한 해들은 크게 세 종류로 구분될 수 있다.

 

1) 일반해 : 임의의 적분상수 $C$를 포함하는 해        $\text{Ex}. \quad y = cx, y = tan(x + c)$

2) 특수해 : 적분상수가 특정 값으로 결정                   $\text{Ex}. \quad y = x + 1, y = 2cosx - 1$

 

이러한 특수해는 보통 초기값 문제 형태에서 구해지며, $y(0) = 2$와 같이 방정식의 해가 특정한 $x$ 와 $y$ 값도 함께 만족해야 하는 경우이다.

 

3) 특이해 : 일반해로 표현이 불가능한 해로, 풀이로 구할 수 없으며 직접 찾아야 한다.

 

예를 들어, 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.

$$y'^{2} - xy' + y = 0$$

이 방정식의 일반해는 $y = cx - c^2$ 이다. 그러나 이 방정식에 $y = \frac{x^2}{4}$를 대입해도 식을 만족한다. 그러나 $y = \frac{x^2}{4}$는 절대 위에서 구한 일반해의 형태로 표현될 수 없다. 이러한 해를 특이해라고 한다.

 

 

1계 상미분방정식의 종류

1계 상미분방정식은 크게 변수분리형 방정식, 완전 상미분방정식, 선형 상미분방정식으로 나뉜다.

 

변수분리형 상미분방정식

상미분방정식을 다음과 같이 분리 가능할 때, 그 방정식을 변수분리형 방정식이라고 한다. 

$$y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

 

[풀이법]

Step 1.  $\frac{1}{g(y)} = f(x)dx$

Step 2.  $\int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx$

 

[확장된 방법]

$y' = f(\frac{y}{x})$ 형태로 표현 가능할 때,

$y = tx$ 로 치환한다. 

 

-> $\frac{dy}{dx} =  \frac{dt}{dx} x + t$

 

완전 상미분방정식

어떤 함수 $u(x,y)$에 대해 $\frac{\partial u}{\partial x} = M(x,y), \frac{\partial u}{\partial y} = N(x,y)$가 존재하면,

$$\frac{du}{dx} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dx} = M + Ny'$$

 

을 만족하므로 다음과 같이 표현된다면, 

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

$$du = Mdx + Ndy = 0$$

 

이를 완전미분방정식이라고 한다.

 

[풀이법] 

Step 1. $M(x,y), N(x,y)$ 이 연속이고, 연속인 1계 편도함수를 갖는지 체크

Step 2. $M_y = N_x$ 인지 체크한다.

Step 3. $\frac{dy}{dx} = M(x,y)$ 에서 $x$로 적분을 하여 $u(x,y) = \int M(x,y)dx + k(y)$

Step 4. $\frac{du}{dy} = N(x,y)$

Step 5. 음함수 해: $u(x,y) = C$로 표현한다.

 

◈ 적분인자법

완전 미분방정식이 아닌 형태의 방정식을 완전 미분방정식으로 바꿔서 푸는 방식을 적분인자법이라고 한다. 이때 적분인자는 원래의 식을 완전미분방정식으로 바꿔주기 위해 양변에 곱해주게 되는 인자를 적분인자라고 부른다.

 

이때 적분인자는 $F(x)$ 혹은 $F(y)$로 표현되는데, 

 

$$F(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N} dx}$$

$$F(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M} dx}$$

 

$F$를 식의 양변에 곱해준 후, 완전미분방정식을 풀면 된다

 

1계 선형 상미분방정식

$$a_1(x)y' + a_0(x)y = r(x)$$

$$y' + p(x)y = r(x)  \quad \text{<표준형>}$$  

 

◈적분인자법 (유도)

$F(x)y' + F(x)p(x)y = F'(x)y + F(x)y' =  F(x)r(x)$

$F'(x) = F(x)p(x)$

$\frac{F'(x)}{F(x)} = p(x)$

$\int \frac{F'(x)}{F(x)}dx = \int p(x)dx$

$ln|F(x)| = \int p(x)dx$

$\therefore F(x) = e^{\int p(x)dx}$

 

$\therefore y = \frac{1}{F(x)} \int F(x)r(x)dx$

 

◈Bernouii 방정식

$$y' + p(x)  = g(x)y^a$$

 

(1) $a = 0$ : $y' + p(x)y = g(x)$ : 선형

(2) $a = 1$ : $y' + p(x)y = g(x)y$ : 선형

 

(3) 그외의 $a$

$u = y^{1-a}$

 

$u' = (1-a)y^{-a} \times y'$

$u' = (1-a)y^{-a} \times (-p(x)y + g(x)y^a)$

$u' = (a-1)p(x)y^{1-a} + (1-a)g(x)$

$u' = (1-a)p(x)u = (1-a)g(x)$

$u' + A(x)u = B(x)$.    <선형>