[미분방정식] 비제차 선형 상미분방정식

2계 비제차 선형 상미분방정식

열린 구간 $I$에서 2계 비제차 선형 상미분방정식

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

의 해는 다음과 같이 나타낸다

$$y = y_h(x) + y_p(x)$$

 

1) 보조해 (Complementary Solution) : 구간 I에서 제차 선형상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$의 일반해

$$y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$

 

제차와 비제차 선형미분방정식의 관계

(1) 어떤 열린구간 I에서 비제차 선형상미분방정식의 해 $y$와 제차 선형미분방정식의 해 $y_h$는 비제차 선형미분방정식의 해이다.

$$y + y_h = y^*$$

 

(2) 구간 I에서 식 (1)의 두 개의 해 $y_{p_1}$, $y_{p_2}$의 차는 구간 I에서 식 (2)의 해이다.

 

[정리] 비제차 선형상미분방정식의 일반해

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$y = y_h + y_p = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p$$

 

매개변수변환법에 의한 풀이

비제차 선형미분방정식

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

의 특수해는 여함수 $y_h = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$의 기저 $y_1$, $y_2$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$$

$$u_1 = -\int \frac{y_2r}{W}dx, \;\; u_2 = \int \frac{y_1r}{W}dx$$

$$W = y_1y'_1 - y_2y'_2$$