[미분방정식] 2계 상미분방정식

2계 제차 선형 상미분방정식

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

1. $r(x) = 0$ 이면 제차 (homogeneous), $r(x) \neq 0$ 이면 비제차 (non-homogeneous)
2. 계수 : $p(x)$, $q(x)$
3. 해 : $y = h(x)$ : $h(x)$는 열린 구간 I에서 정의되고 두 번 미분 가능

중첩의 원리

제차 선형 상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$의 일반해는 열린구간 I에서의 두 개의 해 $y_1$, $y_2$의 1차결합으로 표현된다

$$y = c_1y_1 + c_2y_2$$

 

초기값 문제

다음 초기값 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \quad y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1$$

1. 일반해 : $y = c_1y_1 + c_2y_2$
2. 특수해 : $y_0$과 $y_1$값이 $c_1$, $c_2$값 결정

초기값 문제의 일반해, 기저, 특수해

 

<정의> 일반해, 기저, 특수해

: 열린 구간 I에서 상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$의 일반해는 $y_1$과 $y_2$가 구간 I에서 비례하지 않는 식의 해이고 $c_1$과 $c_2$가 임의의 상수인 해 $y = c_1y_1 + c_2y_2$이다. 이와 같은 $y_1$, $y_2$를 구간 I에서 기저(basis)라고 한다.

 

만약 $c_1$과 $c_2$에 특정한 값을 지정한다면, 구간 I에서 상미분방정식의 특수해라고 한다. 

 

<참고>

두 개의 함수 $y_1$, $y_2$가 정의된 구간 I에서 

(1) 1차 독립 (Linearly Independent)

$$k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0, \text{이면} \quad k_1 = k_2 = 0$$

(2) 1차 종속 (Linearly Dependent)

$$k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0, \text{일때} \quad k_1 \neq 0,  k_2 \neq 0 \text{인} \quad k \text{존재}$$

 

계수내림법 (차수 축소)

한 개의 해 $y_1$을 알고 있고 일차독립인 기저 $y_2$를 구하기 위해 쓰이는 방법

$y_2 = u(x)y_1(x)$를 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$에 대입하여 $y_2$를 구한다

 

이때, $y_2 = uy_1$이라고 하면,

$$u = \int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2}$$

$$y_2 = \int \frac{ e^{-\int p(x)dx} }{y_1}$$

 

상수계차 제차 선형 상미분방정식

표준형: $y'' + ay' + b = 0$

(1) 해의 형태 : $y = e^{\lambda x}$

(2) 특성방정식 : ${\lambda}^2 + a{\lambda} + b = 0$

(3) 특성근

• $D > 0$ : 두 개의 실근
• $D = 0$ : 실이중근
• $D < 0$ : 복소근

[Case 1] 두 개의 실근

1. 기저 : $y_1 = e^{\lambda_1 x}, \;\; y_2 = e^{\lambda_2 x}$
2. 일반해 : $c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$

[Case 2] 실이중근

1. 기저 : $y_1 = e^{\lambda x}, \;\; y_2 = x e^{\lambda x}$
2. 일반해 : $c_1e^{\lambda x} + c_2x e^{\lambda x}$

[Case 3] 복소근

1. 특성근 : $\lambda_1 = \alpha + \beta i, \lambda_2 = \alpha - \beta i$
2. 기저 : $y_1 = e^{\alpha_ x}cos\beta x, \;\; y_2 = e^{\alpha_ x}sin\beta x$
3. 일반해 : $y = e^{\alpha_ x}(Acos\beta x + Bsin\beta x)$

 

오일러-코시 방정식

표준형: $x^2y'' + axy' + by = 0$

 

(1) 해의 형태 : $y = x^m$

(2) 특성방정식 : $m^2 + (a-1)m + b = 0$

(3) 특성근 : $m_1, m_2$

• $D > 0$ : 두 개의 실근
• $D = 0$ : 실이중근
• $D < 0$ : 두 개의 허근

[Case 1] 두 개의 실근

1. 기저 : $y_1 = x^{m_1}, \;\; y_2 = x^{m_2}$
2. 일반해 : $c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} $

[Case 2] 실이중근

1. 기저 : $y_1 = x^m, \;\; y_2 = x^m ln(x)$
2. 일반해 : $c_1 x^m + c_2 x^m ln(x) $

[Case 3] 두 개의 허근

1. 기저 : $y_1 = x^{\alpha}cos\beta( ln(x)), \;\; y_2 = x^{\alpha}sin\beta (ln(x))$
2. 일반해 : $y = x^{\alpha}\left( A \cos\left( \beta \ln(x) \right) + B\sin\left( \beta \ln(x) \right) \right)
   $