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Mathematics/미분방정식

[미분방정식] 2계 상미분방정식

테드리 2024. 11. 6. 22:03

2계 제차 선형 상미분방정식

y

  1. r(x) = 0 이면 제차 (homogeneous), r(x) \neq 0 이면 비제차 (non-homogeneous)
  2. 계수 : p(x), q(x)
  3. 해 : y = h(x) : h(x)는 열린 구간 I에서 정의되고 두 번 미분 가능

중첩의 원리

제차 선형 상미분방정식 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0의 일반해는 열린구간 I에서의 두 개의 해 y_1, y_2의 1차결합으로 표현된다

y = c_1y_1 + c_2y_2

 

초기값 문제

다음 초기값 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \quad y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1

  1. 일반해 : y = c_1y_1 + c_2y_2
  2. 특수해 : y_0y_1값이 c_1, c_2값 결정

초기값 문제의 일반해, 기저, 특수해

 

<정의> 일반해, 기저, 특수해

: 열린 구간 I에서 상미분방정식 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0의 일반해는 y_1y_2가 구간 I에서 비례하지 않는 식의 해이고 c_1c_2가 임의의 상수인 해 y = c_1y_1 + c_2y_2이다. 이와 같은 y_1, y_2를 구간 I에서 기저(basis)라고 한다.

 

만약 c_1c_2에 특정한 값을 지정한다면, 구간 I에서 상미분방정식의 특수해라고 한다. 

 

<참고>

두 개의 함수 y_1, y_2가 정의된 구간 I에서 

(1) 1차 독립 (Linearly Independent)

k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0, \text{이면} \quad k_1 = k_2 = 0

(2) 1차 종속 (Linearly Dependent)

k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0, \text{일때} \quad k_1 \neq 0,  k_2 \neq 0 \text{인} \quad k \text{존재}

 

계수내림법 (차수 축소)

한 개의 해 y_1을 알고 있고 일차독립인 기저 y_2를 구하기 위해 쓰이는 방법

y_2 = u(x)y_1(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = 0에 대입하여 y_2를 구한다

 

이때, y_2 = uy_1이라고 하면,

u = \int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2}

y_2 = \int \frac{ e^{-\int p(x)dx} }{y_1}

 

상수계차 제차 선형 상미분방정식

표준형: y'' + ay' + b = 0

(1) 해의 형태 : y = e^{\lambda x}

(2) 특성방정식 : {\lambda}^2 + a{\lambda} + b = 0

(3) 특성근

  • D > 0 : 두 개의 실근
  • D = 0 : 실이중근
  • D < 0 : 복소근

[Case 1] 두 개의 실근

  1. 기저 : y_1 = e^{\lambda_1 x}, \;\; y_2 = e^{\lambda_2 x}
  2. 일반해 : c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}

[Case 2] 실이중근

  1. 기저 : y_1 = e^{\lambda x}, \;\; y_2 = x e^{\lambda x}
  2. 일반해 : c_1e^{\lambda x} + c_2x e^{\lambda x}

[Case 3] 복소근

  1. 특성근 : \lambda_1 = \alpha + \beta i, \lambda_2 = \alpha - \beta i
  2. 기저 : y_1 = e^{\alpha_ x}cos\beta x, \;\; y_2 = e^{\alpha_ x}sin\beta x
  3. 일반해 : y = e^{\alpha_ x}(Acos\beta x + Bsin\beta x)

 

오일러-코시 방정식

표준형: x^2y'' + axy' + by = 0

 

(1) 해의 형태 : y = x^m

(2) 특성방정식 : m^2 + (a-1)m + b = 0

(3) 특성근 : m_1, m_2

  • D > 0 : 두 개의 실근
  • D = 0 : 실이중근
  • D < 0 : 두 개의 허근

[Case 1] 두 개의 실근

  1. 기저 : y_1 = x^{m_1}, \;\; y_2 = x^{m_2}
  2. 일반해 : c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}

[Case 2] 실이중근

  1. 기저 : y_1 = x^m, \;\; y_2 = x^m ln(x)
  2. 일반해 : $c_1 x^m + c_2 x^m ln(x) $

[Case 3] 두 개의 허근

  1. 기저 : y_1 = x^{\alpha}cos\beta( ln(x)), \;\; y_2 = x^{\alpha}sin\beta (ln(x))
  2. 일반해 : y = x^{\alpha}\left( A \cos\left( \beta \ln(x) \right) + B\sin\left( \beta \ln(x) \right) \right)