[Quant] Factors: How Time and Interest Affect Money - Part 1

Notations

• $P$: 현재 가치
• $F$: 미래 가치
• $A$: 연속으로 발생하는 동일한 크기의 현금 흐름
• $n$: 이자 발생 횟수
• $i$: 시간 당 이자율
• $t$: 시점

 

Future Value (미래 가치)

▶ 가장 단순한 형태: 현재 가치가 $P$이고, 이자율이 연 $i$라 할 때, $n$년 후의 가치 $F$는?

 

$$F = P(1 + i)^n$$

이때, $(1+i)^n$ 부분을 F/P Factor 라고 부른다.

 

예제: 연 10%가 적용되는 은행에 현재 $1000를 맡긴다면, 3년 후의 금액은?

 

$$F = P(1 + i)^n = 1000(1 + 0.1)^3 = 1331$$

 

 

Present Value (현재 가치)

▶ 가장 단순한 형태: 이자율이 연 $i$라 할 때, $n$년 후의 가치가 $F$인 금액의 현재 가치 $P$는?

 

$$P = F(1+i)^{-n}$$

이때, $(1+i)^{-n}$ 부분을 P/F Factor 라고 부른다.

 

예제: 연 10%의 이자율 적용시, 2년 후에 $1210의 가치를 갖게 되는 금액의 현재 가치는?

 

$$P = F(1+i)^{-n} = 1210(1+0.1)^{-2} = 1000$$

 

Uniform Series (연간 가치)

▶일정한 연간 가치 흐름 $A$와 동일한 현재 가치 $P$를 구하는 것

 

$$A = P(\frac {i(1+i)^n} {(1+i)^n - 1})$$

$$P = A(\frac {(1+i)^n - 1} {i(1+i)^n})$$

 

이 때, $\frac {i(1+i)^n} {(1+i)^n - 1}$를 A/P Factor, $ \frac {(1+i)^n - 1} {i(1+i)^n}$를 P/A Factor라 한다.

 

<증명>

두 번째 식을 증명하는 방식으로 가겠다.

$P = A \left[ \frac{1}{(1 + i)^1} + \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^3} + \cdots + \frac{1}{(1 + i)^{n-1}} + \frac{1}{(1 + i)^n} \right]$

$\frac{P}{1 + i} = A \left[ \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^3} + \frac{1}{(1 + i)^4} + \cdots + \frac{1}{(1 + i)^n} + \frac{1}{(1 + i)^{n+1}} \right]$

$\frac{P}{1 + i}-P = -\frac{i}{1 + i} P = A \left[ \frac{1}{(1 + i)^{n+1}} - \frac{1}{(1 + i)} \right]$

$P = \frac{A}{-i} \left[ \frac{1}{{(1 + i)^n}} - 1 \right] = A(\frac {(1+i)^n - 1} {i(1+i)^n})$

예제: 9년 동안 매년 보장된 600달러를 받기 위해, 내년부터 시작해서 매년 16%의 수익률로 지금 얼마를 지불해야 할까?

 

$$P = A \left[ \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n} \right] = 600 \left[ \frac{1.16^9 - 1}{0.16(1.16)^9} \right] = 2763.93$$