[Quant] Factors: How Time and Interest Affect Money - Part2

Uniform Series (연간 가치)

▶일정한 연간 가치 흐름 $A$와 동일한 미래 가치 $F$를 구하는 것

 

 

지난 포스팅에서 연간 가치와 현재 가치의 관계를 나타내는 A/P Factor에 대해 설명하였다. 연간 가치와 미래 가치 사이의 관계를 나타내는 A/F Factor는 A/P Factor와 P/F Factor를 통해 표현할 수 있다.

 

$\text{A\P Factor} : A = P(\frac {i(1+i)^n} {(1+i)^n - 1})$

$\text{P/F Factor} : P = F(1+i)^{-n}$

 

첫 식의 P 대신 두번째 식을 대입하면,

$$A = F(\frac {i}{(1+i)^n - 1})$$

 

이 때, $(\frac {i}{(1+i)^n - 1})$ 를 $\text{A/F Factor}$ 또는 $\text{sinking fund factor}$라고 한다. 

 

위 식을 역수를 취하면

$$F = A(\frac { (1+i)^n - 1}{i})$$

 

와 같은 식이 나오고, $(\frac { (1+i)^n - 1}{i})$에 해당하는 부분을 $\text{F/A Factor}$라고 한다.

 

 

Gradient Series

Arithmetic Gradient Series

▶각 기간마다 일정 금액만큼 증가하거나 감소하는 현금 흐름

이 일정하게 증가하는 현금 흐름을 Gradient 라고 한다.

 

 

이 때, $n$개의 period 동안의 총 현금흐름을 $CF_n$이라고 하면, 

$$CF_n = \text{Base Amount} + (n-1)G$$

로 표현할 수 있다. 

 

이때, Base Amount는 매년 일정하게 증가하는 증가분 $kG$를 제외하고 발생하는 매년 일정한 Annual Series를 말한다. 위 그림에서 Base Amount 부분을 제외하고 Diagram을 그려보면 다음과 같다.

 

Total Present Worth

이  전체를 현재 가치로 변환하는 방법에 대해 살펴보자.

Total Present Worth를 $P_T$라 하면, 이것을 매년 일정하게 발생하는 Annual Series의 현재 가치 $P_A$와, Gradient를 현재 가치로 바꾼 $P_G$의 합으로 나타낼 수 있다.

$$P_T = P_A + P_G$$

 

이 때, $P_A$는 지난 글에서 언급한 P/A Factor와 동일하다.

$$P_A = A(\frac {(1+i)^n - 1} {i(1+i)^n})$$

 

그렇다면 $P_G$는 어떻게 표현할 수 있을까?

 

$P = G \left[ \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{2}{(1 + i)^3} + \frac{3}{(1 + i)^4} + \cdots + \frac{n-2}{(1 + i)^{n-1}} + \frac{n-1}{(1 + i)^n} \right]$

${P}{(1 + i)} = A \left[ \frac{1}{(1 + i)^1} + \frac{2}{(1 + i)^2} + \frac{3}{(1 + i)^3} + \cdots + \frac{n-2}{(1 + i)^{n-2}} + \frac{n-1}{(1 + i)^{n-1}} \right]$

 

아랫 식에서 윗 식을 빼면,

$iP = G \left[ \frac{1}{(1 + i)^1} + \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^3} + \cdots + \frac{1}{(1 + i)^{n-1}} + \frac{1}{(1 + i)^n} \right] - G \left [ \frac{n}{(1+i)^n}\right]$

 

정리하면,

$$P = \frac{G}{i} \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i(1+i)^n} - \frac {n}{(1+i)^n} \right]$$

 

더 나아가서, 이 Arithmetic Gradient Series를 일정한 Uniform Series $A_G$로 바꿀 수도 있는데, 이는 위의 P/G Factor와 A/P Factor를 곱한 결과로 구할 수 있다.

 

$$A_G = G \left[ \frac{1}{i} - \frac {n}{(1+i)^n - 1} \right]$$

 

★Arithmetic Gradient에서 중요한 점은 $kG$ 가 $t = 2$ 시점부터 시작한다는 것이다.

 

 

Geometic Gradient Series

▶각 기간마다 일정 비율만큼 증가하거나 감소하는 현금 흐름

 

$$P_g = \begin{cases}  & \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i-g} \;\;\;\;\;\; \text{ if } \;\; g\neq i \\  & \frac{n}{1+i}\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\text{ if } \;\; g=i  \end{cases}$$

 

이 떄, $g = i$인 경우에 대해서는 

 

$$\displaystyle \lim_{i \to g}\frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i-g}$$

$$= \displaystyle \lim_{i \to g}\frac{(1+i)^n - (1+g)^n}{i-g}\frac{1}{(1+i)^n}$$

$$= n(1+i)^{n-1} \frac{1}{(1+i)^n}$$

$$= \frac{n}{1+i}$$

 

로 증명할 수 있다.