[Quant] The Basic Theory of Interest

1. Principal and Interest (원금과 이자)

• Principal (원금) : 초기(0 시점)에 투자한 금액 혹은 빌린 금액
• Interest (이자) : 원금에 부여되는 추가 금액
• 원금 $P$에 대해, 연 이자율 $r$이 적용될 경우, 1년 후의 가치: $$ F = P(1+r)$$

 

1.1. Simple Interest (단리) 

▶초기 원금에만 붙는 이자

$$F = P(1+rn)$$

 

1.2. Compound Interest (복리)

▶매년 원리금에 붙는 이자

$$ F = P(1+r)^n $$

 

1.3. Compounding in Various Intervals 

일반적으로 은행은 1년 주기보다 더 자주 이자를 계산하고 지급한다.

• 예시) 연 이자율 8%를 매 분기 마다 5년 간 적용 (단, 원금은 $1000$ 가정): $$F = 1000(1+ \frac{0.08}{4})^{(4\times 5)} = 1485.95$$

이렇게 이자를 더 짧은 주기로 지급받으면 이자가 더 자주 발생하므로 같은 기간 안에 더 큰 수익이 생긴다. 일반화된 식은 다음과 같다.

 

$$I_{eff} = (1 + \frac{r}{m})^{mn} - 1$$

 

이는 명목 이자율과 실효 이자율의 개념과 관련이 있는데, 경제성공학 포스팅에 자세히 기재해 놓았다.

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[경제성공학] 3. Nominal and Effective Interest Rates

 

 

2. Future and Present Values of Streams (미래가치와 현재가치의 흐름)

2.1. Future Value (미래 가치)

다음과 같은 가정을 하자:

• 현금 흐름은 매 period마다 발생한다
• 현금 흐름이 발생할 때마다 은행에 예금한다

이 때, 최종 잔액은 개별 흐름의 결과를 총합한 결과로 나타날 것이다.

 

$$FV(\text{Future Value}) = x_0(1+r)^n + x_1(1+r)^{n-1} + ... + x_n$$

 

2.2. Present Value (현재 가치)

현재 가치를 계산할 때와 동일하게 계산되지만, 이 때의 이자율 $r$은 할인율 (Discount Rate)의 역할을 한다는 점이 차이점이다.

$$\text{Discount Rate} = D_k = \frac {1} {(1 + \frac{r}{m})^k}$$

• $r$ : 명목 이자율
• $m$: 연간 이자 지금 횟수
• $k$: 총 기간 동안 이자가 지급되는 횟수

일반적으로 현재 가치는 다음과 같은 수식으로 구해진다. 

$$PV(\text{Present Value}) = x_0 + \frac{x_1}{(1+r)} + \frac{x_2}{(1+r)^2} +...+\frac{x_n}{(1+r)^n}$$

 

Discount Rate를 이용하면 다음과 같이 PV와 FV간의 관계로 표현 가능하다.

$$ PV = FV\times D_k = \frac {FV}{ (1 + \frac{r}{m})^k}$$

따라서 위의 수식을 이용하면, 현재 가치를 다음과 같이 구할 수도 있다.

 

$$PV = \sum_{k=0}^{n}\frac {x_k}{(1 + \frac{r}{m})^k}$$