[Quant] Nominal and Effective Interest Rates

보통 이자율을 정의할 때, 1년 단위 기준으로 정의하지만 실제로 이자가 적용되는 주기는 1년보다 짧은 경우가 많다. 예를 들어, 6개월 복리, 3개월 복리 등이 존재한다.

 

이를 이해하려면, 명목 이자율과 실효 이자율의 개념에 대해 살펴보아야 한다.

다음과 같은 두 예시를 살펴보자

• 2년간 연 복리 10%
• 2년간 6개월 복리 5%

위 두 경우는 명목 이자율은 동일하지만, 실효 이자율을 계산해보면 두 번째 경우가 더 높게 나온다. 오늘은 명목 이자율과 실효 이자율을 계산하는 방법에 대해 살펴보도록 하겠다.

 

1. Nominal Interest Rate (명목 이자율)

우선 명목 이자율에 대해 알아보자. 명목 이자율은 복리 개념이 적용되지 않는 이자율이다. 

$$r = \text{interest rate per time period} \times \text{number of periods}$$

앞선 두 예시에 대해 명목 이자율을 계산해보면,

• $10\text{%} \times 2 = 20\text{%}$
• $5\text{%} \times 4 = 20\text{%}$

로 동일하게 계산됨을 확인할 수 있다. 

 

2. Effective Interest Rate (실효 이자율)

실효 이자율은 명목 이자율과 다르게 복리가 적용되는 이자율이다. 위에서 계산한 명목 이자율을 가지고 실효 이자율을 계산할 수 있는데, 이자가 적용되는 time period와 이자가 적용되는 횟수에 따라 결정된다.

• Interest time period $t$
• Compounding Period $CP$
• Compounding Frequency $m$ 

$$\text{Effective Rate per CP} = \frac {\text{r% per time period t}} {\text{m compounding periods per t}} = \frac {r}{m}$$

ex) 1개월 복리 연 이자율 9% : 0.75% / 1개월

 

 

3. Effective Annual Interest Rate (연 실효 이자율)

보통 실효 이자율은 연 단위로 나타내는 것이 일반적이다. 이 때, $t = 1$을 사용하고, 

• $r$ : Nominal Interest Rate per year
• $i$ : Effective Interest Rate per CP = $\frac{r}{m}$
• $i_a$: Effective Annual Interest Rate

$$i_a = (1 + i)^m - 1 = \bf{{\color{Red} {(1 + \frac{r}{m})^m - 1}}}$$

예를 들어, 연 6% 이자율 1개월 복리의 연 실효 이자율은 다음과 같이 계산될 수 있다.

$$i_a = (1 + \frac{0.06}{12})^{12} - 1 = 6.17\text{%}$$

 

 

4. Effective Interest Rate for Any Time Period 

3.의 경우처럼 실효 이자율을 나타낼 때는 연 실효 이자율로 표현하는 것이 일반적이긴 하지만 꼭 1년에 해당하는 실효 이자율만 사용해야 하는 것은 아니다. 즉, 1년보다 길거나 짧은 기간에 대해서도 실효 이자율을 적용할 수 있다는 것이다.

 

1년이 아닌 기간에 대해 실효 이자율을 계산하는 방식은 3.의 공식을 약간만 변형하면 된다. $n$년 동안의 기간에 대한 실효이자율을 구하려고 한다면, 위 공식의 승수에 $n$을 곱해주기만 하면 된다. 

 

$$\bf{{\color{Blue}{ i_{eff} = (1 + \frac{r}{m})^{mn} - 1}}}$$

 

예 1) 연 이자율 8%, 3개월 복리가 2년간 적용: $(1 + \frac {0.08}{4})^8 -1 = 17.16\text{%}$

예 2) 연 이자율 12%, 1개월 복리가 6개월 간 적용: $(1 + \frac{0.12}{12})^6 - 1 = 6.15\text{%}$

 

 

5. Continous Compounding 

끝으로, Continous Compounding에 대해 알아보도록 하겠다. Continuous Compounding이란  연속적 복리라는 뜻으로, time period가 0에 수렴해서 m이 무한히 커지는 상황을 말한다. 물론 이론적으로만 가능하고 현실성은 전혀 없다.

 

공식은 3.의 공식에서 m의 극한에 무한대를 취해주면 된다.

$$\displaystyle \lim_{m \to \infty }(1 + \frac{r}{m})^m - 1 = {\color {Blue} {e^r - 1}}$$