TaeKyoung's Study Blog

2계 비제차 선형 상미분방정식열린 구간 $I$에서 2계 비제차 선형 상미분방정식$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$의 해는 다음과 같이 나타낸다$$y = y_h(x) + y_p(x)$$ 1) 보조해 (Complementary Solution) : 구간 I에서 제차 선형상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x) = 0$의 일반해$$y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$ 제차와 비제차 선형미분방정식의 관계(1) 어떤 열린구간 I에서 비제차 선형상미분방정식의 해 $y$와 제차 선형미분방정식의 해 $y_h$는 비제차 선형미분방정식의 해이다.$$y + y_h = y^*$$ (2) 구간 I에서 식 (1)의 두 개의 해 $y_{p_1}$, $y_{p_2}$의 차는 구간 ..

2계 제차 선형 상미분방정식$$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$$$r(x) = 0$ 이면 제차 (homogeneous), $r(x) \neq 0$ 이면 비제차 (non-homogeneous)계수 : $p(x)$, $q(x)$해 : $y = h(x)$ : $h(x)$는 열린 구간 I에서 정의되고 두 번 미분 가능중첩의 원리제차 선형 상미분방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$의 일반해는 열린구간 I에서의 두 개의 해 $y_1$, $y_2$의 1차결합으로 표현된다$$y = c_1y_1 + c_2y_2$$ 초기값 문제다음 초기값 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \quad y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_..

미분방정식의 계미분방정식에서 '계'는 방정식에서 가장 높은 도함수의 차수를 의미한다. 즉 '1계 미분방정식'이라 함은 어떤 함수 $y = f(x)$ 에 대해 $y'$의 형태가 가장 높은 도함수의 차수인 미분방정식을 의미한다.$$ \text{Ex.} \quad y' + 2y = 0$$ 1계 미분방정식의 해미분방정식의 해는 $y' = F(x,y)$나 $F(x, y, y') = 0$의 형태로 표현된 방정식을 만족하는 $y = f(x)$ 혹은 $f(x,y) = c$를 구하는 방식이다. 이러한 해들은 크게 세 종류로 구분될 수 있다. 1) 일반해 : 임의의 적분상수 $C$를 포함하는 해        $\text{Ex}. \quad y = cx, y = tan(x + c)$2) 특수해 : 적분상수가 특정 값으로 결..

확률분포란? 확률 변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미한다. 확률분포는 사건에 따라 다양한 형태로 나타날 수 있으며, 크게 이산확률분포와 연속확률분포로 나뉜다. 이산확률분포는 이산확률변수에 대한 확률분포이고, 연속확률분포는 연속확률변수에 대한 확률분포이다. 오늘은 이산확률분포에 대해 다뤄보도록 하겠다. 1. Binomial Distrubution (이항분포)Bernouii Random Variables (베르누이 확률변수)이항분포에 대해서 다루기 위해서는 우선 베르누이 확률변수에 대해 살펴볼 필요가 있다. 베르누이 확률변수란 결과값이 오직 0과 1, 즉 두 가지 결과값만 갖는 확률변수를 의미한다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우를 생각해보자. 동전 던지기의 결과로는 앞면, 뒷면 두 가지 ..

1. Expectations (평균, 기댓값)1.1 Expectations of Discrete Random Variables지난 포스팅에서 이산확률변수에 대해 알아보았다. 이산확률변수란 확률변수가 연속적이지 않은 값을 가질 때 그 확률변수를 이산확률변수라고 한다. 주사위를 던질 때 나오는 눈의 개수나 동전 던지기의 결과를 예로 들었었다.변량$x_1$$x_2$$x_3$......$x_n$확률$p_1$$p_2$$p_3$......$p_n$ 위와 같이 이산확률 변수에 대한 확률질량함수를 나타내면 $P(X = x_i) = p_i$였고, 이 확률변수들에 대한 기댓값은 각 변량에 확률을 곱해서 가중합한 결과로 나타내진다. $$E(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots +p_nx_n = \sum_{i..

Random Variable 이란? 확률 변수(Random Variable)는 확률 실험의 결과에 수치를 할당하는 변수로, 즉, 확률적인 결과를 수치로 표현할 때 사용되는 개념이다. 보통 $X$로 표현되며, 실험 결과 $x$에 대한 확률 형태로 표현되는 것이 일반적이다. $$P(X = x) = p$$ 1. Discrete Random Variable (이산 확률 변수) ▶셀 수 있는 유한 개의 값이나 셀 수 있는 무한 개의 값(예를 들어, 자연수)을 가질 수 있는 확률 변수 예) 동전 던지기에서 앞면의 수, 주사위 던지기에서 나오는 눈의 수 주사위 던지기의 경우, 각 눈이 나올 확률이 $\frac{1}{6}$로 동일하기 때문에, 다음과 같이 확률 변수를 나타낼 수 있다. $X$ 1 2 3 4 5 6 $P..

1. 확률 1.1. 표본공간 (Sample Space) 어떤 표본공간 $S$는 어떤 실험으로부터 나올 수 있는 모든 결과들의 집합이다. 이때, 실험이란 어떠한 시행이나 과정을 말하며, 각 시행결과가 발생할 가능성을 수학적인 구조로 설명하는 것이 확률론의 핵심이다. 예시: 카드 덱에서 두 개의 카드를 비복원추출하는 표본공간은 다음과 같다. 1.2. 확률값 (Probability Values) 특정 실험 결과의 실제 발생 가능성은 표본공간의 각 요소에 확률 값을 할당함으로써 찾아진다. 각 결과에는 0과 1사이의 값이 할당되며, 표본공간의 모든 요소에 대한 확률값의 합은 1이다. 표본공간 : $S = \left\{O_1,O_2, ..., O_n \right\}$ $O_i$에 대한 확률 : $P(O_i) = p..